> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://kmis.gitbook.io/statistics/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://kmis.gitbook.io/statistics/chapter-4.-discrete-random-variables/4-5.-multinomial-distribution.md).

# 4-5. Multinomial Distribution (\*)

이항분포는 '성공'과 '실패'의 두 가지 속성만을 갖는 모집단을 대상으로 하지만, 다항분포는 세 가지 이상의 속성을 갖는 모집단에서 발생한다. 

$$k$$개의 속성이 존재하고, 각 속성의 비율이 $$p\_1, p\_2, ..., p\_k$$ 인 무한 모집단에서 $$n$$ 개의 표본을 추출할 경우, 각 속성의 갯수를 $$X\_1, X\_2, ..., X\_k$$ 라 하면, 다음과 같이 다항분포를 따른다. 

 $$MN(n, p\_1, p\_2, ..., p\_k)$$ 

> **다항분포(Multinomial Distribution)**
>
> $$P(X\_1 = x\_1, X\_2=x\_2, ... X\_k = x\_k) = \frac{n!}{(x\_1)!(x\_2)!...(x\_k)! } p\_1 ^{x\_1}p\_2 ^{x\_2}...p\_k ^{x\_k}$$ 
>
> Where,  $$\Sigma\_{i=1}^{k} p\_i = 1,$$    $$\Sigma\_{i=1}^{k} x\_i = n,$$     $$0 \le x\_i  \le n.$$ 

$$\frac{n!}{(x\_1)!(x\_2)!...(x\_k)! }$$는 $$n$$ 개의 표본 중 각각의 속성이 $$x\_1, x\_2, ..., x\_k$$ 개씩 나오는 **경우의 수**이며,  $$p\_1 ^{x\_1}p\_2 ^{x\_2}...p\_k ^{x\_k}$$ 는 **특정 조합의 확률**임을 알 수 있다.

다항분포의 특성 중 하나는 $$X\_i$$ 의 주변확률(marginal probability) 분포가 이항분포가 된다는 사실이다. 특정한 $$i$$ 번째 속성만을 '성공'으로 정하면 전체 모집단은 '성공'과 '실패'의 두 가지 속성으로 나눌 수 있기 때문이다. 따라서 $$X\_i$$**의 주변확률분포**는 다음과 같다.

              $$P(X\_i =x\_i) = \binom{n}{x\_i} p\_i^{x\_i}(1-p)^{n-x\_i},$$    $$x\_i = 0, 1, ..., n.$$ 

> **Expected Value and Variance of Multinomial Distribution**
>
>                    $$E(X\_i) = np\_i,$$     $$Var(X\_i) = np\_i(1-p\_i).$$ 

**EXAMPLE 13.** 세 가지 속성을 갖는 아래의 세 모집단에서 각각 5개씩 표본을 취하였을 때, 다항 확률분포 그래프를 작성하고, 기대값 분산을 구하여 비교하시오.

1. $$(p\_1, p\_2, p\_3) = (0.1, 0.1, 0.8)$$   
2. $$(p\_1, p\_2, p\_3) = (0.1, 0.5, 0.4)$$
3. $$(p\_1, p\_2, p\_3) = (1/3, 1/3, 1/3)$$ 

**\[ Solution ]** 

1. $$E(X\_1) = 5 \times 0.1 = 0.5,$$  $$E(X\_2) = 5 \times 0.1 = 0.5,$$  $$E(X\_3) = 5 \times 0.8 = 0.4$$ \
    $$Var(X\_1) = 5 \times 0.09=0.45,$$  $$Var(X\_2) = 5 \times 0.09=0.45,$$     \
     $$Var(X\_3) = 5 \times 0.16=0.8$$ 
2. $$E(X\_1) = 5 \times 0.1 = 0.5,$$  $$E(X\_2) = 5 \times 0.5 = 2.5,$$  $$E(X\_3) = 5 \times 0.4 = 2$$ \
    $$Var(X\_1) = 5 \times 0.09=0.45,$$  $$Var(X\_2) = 5 \times 0.25=1.25,$$     \
    $$Var(X\_3) = 5 \times 0.24=1.2$$ 
3. $$E(X\_1) = 5 / 3,$$  $$E(X\_2) = 5 / 3,$$  $$E(X\_3) = 5 / 3$$ \
    $$Var(X\_1) = Var(X\_2) = Var(X\_3) = 5 \times (1/3) \times(2/3) = 10/9 \doteq 1.111$$ 

{% tabs %}
{% tab title="R Source" %}

```
library(Rstat)

# pi, n, range of xi
p <- matrix(c(1, 1, 8, 1, 5, 4, 1, 1, 1), nrow=3, ncol=3, byrow=T)

# Packages : scatterplot3d
# install.packages("scatterplot3d")
library(scatterplot3d)

# multinorm.plot()
multinorm.plot(p, 5)
```

{% endtab %}

{% tab title="Plot" %}
![](https://2234305379-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-legacy-files/o/assets%2F-Lqmt1Wp54aKlZ5eVcaS%2F-LtMx4WaTA2855shqYwy%2F-LtMyXdTBOb77ai6DgkZ%2Fimage.png?alt=media\&token=16b577d4-8a23-465a-8d64-4f1359950469)
{% endtab %}
{% endtabs %}

**EXAMPLE 14.** 어떤 프로세스에서 생산되는 제품의 품질이 A, B, C, D 등급으로 구분되며, 각 등급의 비율은 20%, 40%, 30%, 10%로 알려져 있다. 이 공정에서 20개의 제품을 샘플링하였을 때, 각 등급 제품의 수를 $$X\_1, X\_2, X\_3, X\_4$$라 하자.

1. 확률분포함수를 구하라.
2. 기대값과 분산을 구하라.
3. $$X\_1 = 3, X\_2=6, X\_3 =8$$ 이 나올 확률을 구하라.
4. $$X\_1 = 3, X\_2=6$$ 이 나올 확률을 구하라.
5. $$X\_1 = 3$$ 이 나올 확률을 구하라.

**\[ Solution ]**

1. $$f(x\_1, x\_2, x\_3, x\_4) = \frac{20!}{x\_1!x\_2!x\_3!x\_4! } (0.2)^{x\_1} (0.4) ^{x\_2} (0.3) ^{x\_3}(0.1) ^{x\_4}$$&#x20;
2. &#x20;$$E(X\_1) = 20 \times 0.2 = 4,$$ $$E(X\_2) = 8,$$ $$E(X\_3) = 6,$$ $$E(X\_4) = 2$$ \
   &#x20;$$Var(X\_1) = 20 \times 0.2 \times 0.8 = 3.2,$$ $$Var(X\_2) = 4.8,$$ $$Var(X\_3) = 4.2,$$ $$Var(X\_4) = 1.8$$&#x20;
3. $$X\_1 = 3, X\_2=6, X\_3 =8$$ 이면,  $$X\_4 =3.$$ \
   &#x20;$$f(3, 6, 8, 3) = \frac{20!}{3!\times6!\times8!\times3! } (0.2)^{3} (0.4) ^{6} (0.3) ^{8}(0.1) ^{3} \doteq 0.005$$&#x20;
4. $$X\_1 = 3, X\_2=6$$ 이면, 나머지 속성은 11.\
   $$f(3, 6, 11) = \frac{20!}{3!\times6!\times11! } (0.2)^{3} (0.4) ^{6} (0.4) ^{11} \doteq 0.019$$
5. &#x20;$$X\_1 = 3$$이면, 나머지 속성은 17.\
   &#x20;$$f(3, 17) = \frac{20!}{3!\times17! } (0.2)^{3} (0.8) ^{17} \doteq 0.205$$&#x20;

{% tabs %}
{% tab title="R Source" %}

```
library(Rstat)

# pi, n, range of xi
p <- c(2, 4, 3, 1)
n <- 20

# 3. f(3, 6, 8, 3)
x <- c(3, 6, 8, 3)
dmultinom(x, size=n, prob=p)

# 4. f(3, 6, 11)
x <- c(3, 6, 11)
dmultinom(x, size=n, prob=c(2, 4, 4))

# 5. f(3, 17)
x <- c(3, 17)
dmultinom(x, size=n, prob=c(2,8))
```

{% endtab %}

{% tab title="3." %}

```
> # 3. f(3, 6, 8, 3)
> x <- c(3, 6, 8, 3)
> dmultinom(x, size=n, prob=p)
## [1] 0.005004827
```

{% endtab %}

{% tab title="4." %}

```
> # 4. f(3, 6, 11)
> x <- c(3, 6, 11)
> dmultinom(x, size=n, prob=c(2, 4, 4))
## [1] 0.01939077
```

{% endtab %}

{% tab title="5." %}

```
> # 5. f(3, 17)
> x <- c(3, 17)
> dmultinom(x, size=n, prob=c(2,8))
## [1] 0.2053641
```

{% endtab %}
{% endtabs %}