4-8. Negative Binomial Distribution (*)

1. Negative Binomial Distribution

기하분포의 개념을 보다 일반화해서 $r$ 번째 성공이 발생할 때까지 시행하는 독립시행의 횟수를 $X$ 라 하면, 확률변수 $X$는 다음과 같은 음이항분포(Negative Binomial Distribution)를 따른다.

[ 이를 $X \sim NB(p, r)$ 로 표기한다. ]

$x$번째 시행에서 $r$번째 성공이 발생하려면 그 이전의 $(x-1)$ 번의 시행까지 $(r-1)$번의 '성공'이 나와야 하고, 마지막 시행에서 '성공'이 나와야 한다.

P(X=x) = P(x-1 번의 \space 시행 \space중에서 \spacer-1번의\space 성공)P(x번째 \space시행은\space '성공') $= \binom{x-1}{r-1} p^{r-1} (1-p)^{x-r} \times p,$ $x = r, r+1, r+2, ...$

음이항분포(Negative Binomial Distribution)는 성공확률이 일정한 시행에서 주어진 횟수($r$)의 성공이 발생할 때까지 시행한 횟수의 확률분포로 다음과 같은 확률밀도함수를 갖는다.

$f(x) = \binom{x-1}{r-1} p^r (1-p)^{x-r},$ $x = r, r+1, r+2, ...$

2. Geometric Distribution and Negative Binomial Distribution

$X_1, X_2, ..., X_n$ 이 독립이고 동일한 기하분포(Geometric Distribution)를 따르는 확률변수일 때, $X = \Sigma _{i=1}^{r}X_i$ 의 분포는 음이항분포(Negative Binomial Distribution)를 따른다.

3. Expected Value and Variance of Negative Binomial Distribution

$E(X) = E(\Sigma _{i=1}^{r}X_i) = r/p,$

$Var(X) = Var(\Sigma _{i=1}^{r}X_i) = r(1-p) / p^2.$

EXAMPLE 27. 성공확률이 0.4인 무한모집단에서 각각 1회, 2회, 4회의 성공을 얻을 때까지 시행하였을 때, 시행횟수의 확률분포 그래프를 작성하고, 기대값과 분산을 구하여 비교하라.

[ Solution ]

R Source

library(Rstat)

# p, r, range of x
p <- 0.4; r <- c(1, 2, 4); xr <- 1:100
len <- length(r)

# dnbinom() : failures before the r-th success
fx <- list()
for (i in 1:len) fx[[i]] <- dnbinom(xr - r[i], r[i], p)

# Sum(fx) == 1 ?
sapply(fx, sum)

# Plot
mt <- paste0("Neg-Binomial(0.4,", r, ")")
win.graph(9,3); par(mfrow=c(1,3)); par(mar=c(3,4,4,2))
for (k in 1:len) plot(xr[1:30], fx[[k]][1:30], type="h", 
                      main=mt[k], ylab="f(x)", xlab="", lwd=3, col=2)

# E(X) and Var(X)
disc.mexp(xr, fx, plot=F)

Plot

• 기하분포처럼 오른쪽 꼬리가 길고, 왼쪽으로 치우친 형태를 나타내지만, 목표 성공횟수( $r$ )가 커질수록 치우침이 줄어들고 있음을 알 수 있다.

E(X) and Var(X)

> # E(X) and Var(X)
> disc.mexp(xr, fx, plot=F)
## E(XR) = 2.5      V(XR) = 10 - 2.5² = 3.75       D(XR) = √(3.75) = 1.936 
## E(XR) = 5        V(XR) = 32.5 - 5² = 7.5        D(XR) = √(7.5) = 2.739 
## E(XR) = 10       V(XR) = 115 - 10² = 15         D(XR) = √(15) = 3.873

• 기대값은 목표 성공횟수에 비례하여 증가함.

• 분산 또한 목표 성공횟수에 비례하여 증가함.

EXAMPLE 28. 성공확률이 각각 0.1인 세 개의 프로젝트를 성공시킬 때까지 기획한 횟수 $X$ 에 대하여 다음을 구하시오.

1. 확률분포함수

2. 기대값과 분산

3. 10번째 시도 만에 3 개의 프로젝트를 성공시킬 확률

[ Solution ]

1. $f(x) = \binom{x-1}{3-1} (0.1)^3 (0.9)^{x-3},$ $x = 3, 4, 5, ...$

2. $E(X) = r/p = 3/0.1 = 30,$ $Var(X) =r(1-p) / p^2 = 3 \times (0.9) / (0.1) ^ 2 = 270$

3. $f(10) = \binom{10-1}{3-1} (0.1)^3 (0.9)^{10-3} \doteq 0.017$

R Source

library(Rstat)

# p, r, range of x
p <- 0.1; r <- 3; xr <- 3:250

# dnbinom() : failures before the r-th success
fx <- dnbinom(xr - r, r, p)
disc.exp(xr, fx)

# f(10)? :
xr <- 10
dnbinom(xr-r, r, p)

E(X) and Var(X)

> # dnbinom() : failures before the r-th success
> fx <- dnbinom(xr - r, r, p)
> disc.exp(xr, fx)
## E(XR) = 30 
## V(XR) = 1170 - 30² = 270 
## D(XR) = √(270) = 16.432

f(10)

> # f(10)? :
> xr <- 10
> dnbinom(xr-r, r, p)
## [1] 0.01721869