> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://kmis.gitbook.io/statistics/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://kmis.gitbook.io/statistics/ch_02_descriptive_statistics/2-3_exercises.md). # 2-3. Exercises ## 1. Basic Exercises **Ex 1.** 다음 표본의 범위(range), 분산(variance) 그리고 표준편차(standard deviation)을 구하라. ``` 1 2 3 4 ``` **Ex 2.** 다음 표본의 범위(range), 분산(variance) 그리고 표준편차(standard deviation)을 구하라. ``` 2 -2 6 0 2 1 ``` **Ex 3.** 다음 표본의 범위(range), 분산(variance) 그리고 표준편차(standard deviation)을 구하라. ``` 2 1 2 7 ``` **Ex 4.** 다음 표본의 범위(range), 분산(variance) 그리고 표준편차(standard deviation)을 구하라. ``` -1 0 1 4 1 1 ``` **Ex 5.** data frequency table로 표현된 표본의 범위(range), 분산(variance) 그리고 표준편차(standard deviation)을 구하라. ``` x 1 2 7 f 1 2 1 ``` **Ex 6.** data frequency table로 표현된 표본의 범위(range), 분산(variance) 그리고 표준편차(standard deviation)을 구하라. ``` x -1 0 1 4 f 1 1 2 1 ``` ## 2. Applications Exercies **Ex 7.** 다음 표본의 범위(range), 분산(variance) 그리고 표준편차(standard deviation)을 구하라. ``` 122 162 123 145 148 120 147 160 150 152 ``` **Ex 8.** 다음 표본의 범위(range), 분산(variance) 그리고 표준편차(standard deviation)을 구하라. ``` 142 152 128 145 148 129 147 155 150 152 ``` ## 3. Additional Exercises **Ex 9.** 다음의 표로 나타난 데이터 세트가 있다. ``` x 26 27 28 29 30 31 32 f 3 4 16 12 6 2 1 ``` a. 이 표를 이용하여 $$\Sigma x$$ 와 $$\Sigma x^2$$ 을 구하라. b. 위의 결과를 이용하여 표본 평균과 표본 표준편차를 구하라. **Ex 10.** 다음의 데이터에 대하여 표본 표준편차를 구하라. ``` x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 f 284 208 98 56 28 12 8 2 3 1 ``` **Ex 11.** 자동차 수리센터에서 수리비 청서를 49건 무작위로 선택하였다. 그 데이터를 stem and leaf diagram으로 정렬하였다. (stem은 천단위, leaf는 백단위로 표시되어 있으며 가장 큰 금액은 3,800이었다.) ``` 0 | 4 0 | 5688 1 | 0012444 1 | 55566777889 2 | 000001224 2 | 566778899 3 | 001124 3 | 568 ``` a. 평균, 중앙값 그리고 최빈값을 구하라. b. 범위(range)를 구하라. c. 표본 표준편차를 구하라. **\[Solution]** {% tabs %} {% tab title="R Source" %} ``` x <- c(35, 36, 38, 30, 30, 31, 31, 32, 34, 25, 26, 26, 27, 27, 28, 28, 29, 29, 20, 20, 20, 20, 20, 21, 22, 22, 24, 15, 15, 15, 16, 16, 17, 17, 17, 18, 18, 19, 10, 10, 11, 12, 14, 14, 14, 5, 6, 8, 8, 4) stem(x) # a. mean(x) # mean median(x) # median y <- table(x) # mode names(which.max(y)) # b. range <- max(x) - min(x); range # c. sd(x) ``` {% endtab %} {% tab title="a." %} ``` > # a. > mean(x) # mean [1] 20.6 ``` {% endtab %} {% tab title="b." %} ``` > median(x) # median [1] 20 ``` {% endtab %} {% tab title="c." %} ``` > y <- table(x) # mode > names(which.max(y)) [1] "20" ``` {% endtab %} {% endtabs %} **Ex 12.** 표준 편차가 0인 데이터 세트의 특징에 대하여 서술하라. **Ex 13.** 25개의 측정치로 구성된 데이터 세트의 표준편차가 0이다. 이 측정치 중의 하나가 17의 값을 가지고 있다. 나머지 24개 측정치는 어떻게 구성이 되는가? **Ex 14.** 범위의 값이 0이고, 표본 평균이 2이 는 표본의 크기가 3인 데이터 세트를 작성하라. **Ex 15.** 표본 분산 값이 0이고, 표본 평균이 1이 되는 표본 크기 3의 데이터 세트를 작성하라. **Ex 16.** (-1, 0, 1) 표본은 평균이 0, 표준편차가 1이다. 평균이 0이고 표준편차가 1보다 더 큰 값을 갖는 표본 크기 3인 데이터 세트를 작성하라. **Ex 17.** (-1, 0, 1) 표본은 평균이 0, 표준편차가 1이다. 평균이 0이고 표준편차가 1보다 더 작은큰 값을 갖는 표본 크기 3인 데이터 세트를 작성하라. **Ex 18.** 다음과 같은 데이터 세트가 있다. 이 데이터 세트를 **Data Set 1**이라고 하자. ``` 5 -2 6 14 -3 0 1 4 3 3 5 ``` a. Data Set 1의 표본 표준편차를 구하라. b. 이 Data Set 1의 각 수치에 3을 더하여 Data Set II를 작성하라. 그리고 이 Data Set II의 표본 표준편차를 구하라. c. Data Set I의 각 수치에서 6을 뺀 값으로 구성된 Data Set III를 작성하라. 그리고 이 Data Set III의 표본 표준편차를 구하라. d. (a), (b), (c)의 결과를 비교하고 일반적인 원리로 제시할 수 있는 패턴을 설명하라. **\[Solution]** {% tabs %} {% tab title="R Source" %} ``` ds1 <- c(5, -2, 6, 14, -3, 0, 1, 4, 3, 3, 5) # a sd(ds1) # b ds2 <- ds1 + 3; ds2 sd(ds2) # c ds3 <- ds2 - 6; ds3 sd(ds3) ``` {% endtab %} {% tab title="a" %} ``` > # a > sd(ds1) [1] 4.60632 ``` {% endtab %} {% tab title="b" %} ``` > # b > ds2 <- ds1 + 3; ds2 [1] 8 1 9 17 0 3 4 7 6 6 8 > sd(ds2) [1] 4.60632 ``` {% endtab %} {% tab title="c" %} ``` > # c > ds3 <- ds2 - 6; ds3 [1] 2 -5 3 11 -6 -3 -2 1 0 0 2 > sd(ds3) [1] 4.60632 ``` {% endtab %} {% tab title="d" %} (a), (b), (c) have the same standard deviation. \=> sd(x) = sd(x + a) = sd(x - a) {% endtab %} {% endtabs %} ## **4.** LARGE DATA SET EXERCISES {% file src="/files/-Lrp7tz-63NFCecAmwxF" %} Data Set 1 {% endfile %} **Ex 19.** 1,000 명의 학생들의 SAT와 GPS 성적을 수록하고 있는 **Data Set 1**이 의 사이트에 수록되어 있다. {% embed url="" %} ; {% endembed %} a. SAT 성적의 범위와 표본 표준편차를 구하라. b. GPS 성적의 범위와 표본 표준편차를 구하라. **\[Solution]** {% tabs %} {% tab title="R Source" %} ``` install.packages("readxl") library(readxl) dataset1 <- read_excel("data1.xls") str(dataset1) # Data Set 1 sat <- dataset1[[1]] gpa <- dataset1[[2]] # list of Data Set head(sat) head(gpa) # a. range_SAT <- max(sat) - min(sat) range_SAT sd(sat) # b. range_GPA <- max(gpa) - min(gpa) range_GPA sd(gpa) ``` {% endtab %} {% tab title="Data Set 1" %} ``` > str(dataset1) > str(dataset1) Classes ‘tbl_df’, ‘tbl’ and 'data.frame': 1000 obs. of 2 variables: $ SAT Score : num 1300 1520 1580 1430 1610 1230 1520 1320 1240 1480 ... $ College GPA: num 3.66 2.92 2.66 2.27 2.35 2.02 2.94 1.76 2.35 3.16 ... > > # list of Data Set > head(sat) [1] 1300 1520 1580 1430 1610 1230 > head(gpa) [1] 3.66 2.92 2.66 2.27 2.35 2.02 ``` {% endtab %} {% tab title="a" %} ``` > # a. > range_SAT <- max(sat) - min(sat) > range_SAT [1] 1350 > sd(sat) [1] 212.5455 ``` {% endtab %} {% tab title="b" %} ``` > # b. > range_GPA <- max(gpa) - min(gpa) > range_GPA [1] 4 > sd(gpa) [1] 0.7407454 ``` {% endtab %} {% endtabs %} **Ex 20**. **Data Set 1**의 SAT성적을 이용하여 다음을 구하라. a. 이 데이터 세트가 모든 고등학생들의 데이터로 생각하자. 모집단의 범위와 표준편차$$(\sigma)$$를 계산하라. b. 이 모집지단에서 무작위 표본으로 제일 처음의 25개 데이터를 선택하였다. 이 표본의 범위와 표준편차$$(s)$$를 구하라. 이 값들을 (a)에서 구한 결과와 비교하라. c. 이 모집단에서 무작위 표본으로 그 다음 25개 데이터를 선택하였다. 이 표본의 범위와 표준편차$$(s)$$를 구하라. 이 값들을 (a)에서 구한 결과와 비교하라. **\[Solution]** {% tabs %} {% tab title="R Source" %} ``` dataset1 <- read_excel("data1.xls") str(dataset1) # Population Data Set sat <- dataset1[[1]]; head(sat) # a. range_SAT <- max(sat) - min(sat) ; range_SAT sd(sat) # Sample Data Set : First 25 Observations. sat <- dataset1[[1]][1:25]; sat # b. range_SAT <- max(sat) - min(sat) ; range_SAT sd(sat) # Sample Data Set : First 25 Observations. sat <- dataset1[[1]][26:50]; sat # c. range_SAT <- max(sat) - min(sat) ; range_SAT sd(sat) ``` {% endtab %} {% tab title="a" %} ``` > # Population Data Set > sat <- dataset1[[1]]; head(sat) [1] 1300 1520 1580 1430 1610 1230 > > # a. > range_SAT <- max(sat) - min(sat) ; range_SAT [1] 1350 > sd(sat) [1] 212.5455 ``` {% endtab %} {% tab title="b" %} ``` > # Sample Data Set : First 25 Observations. > sat <- dataset1[[1]][1:25]; sat [1] 1300 1520 1580 1430 1610 1230 1520 1320 1240 1480 1780 1870 1140 1580 1520 1510 1490 1760 1430 1630 1960 1330 [23] 1520 1430 1390 > > # b. > range_SAT <- max(sat) - min(sat) ; range_SAT [1] 820 > sd(sat) [1] 197.5373 ``` {% endtab %} {% tab title="c" %} ``` > # Sample Data Set : Next 25 Observations. > sat <- dataset1[[1]][26:50]; sat [1] 1700 1320 1540 1510 1120 1690 1870 1450 1430 1850 1510 1510 1700 1330 1820 1360 1820 1670 1690 1330 1520 1180 [23] 1700 1430 1330 > > # c. > range_SAT <- max(sat) - min(sat) ; range_SAT [1] 750 > sd(sat) [1] 209.6052 ``` {% endtab %} {% endtabs %} **Ex 21**. **Data Set 1**의 GPA성적을 이용하여 다음을 구하라. a. 이 데이터 세트가 모든 고등학생들의 데이터로 생각하자. 모집단의 범위와 표준편차$$(\sigma)$$를 계산하라. b. 이 모집지단에서 무작위 표본으로 제일 처음의 25개 데이터를 선택하였다. 이 표본의 범위와 표준편차$$(s)$$를 구하라. 이 값들을 (a)에서 구한 결과와 비교하라. c. 이 모집단에서 무작위 표본으로 그 다음 25개 데이터를 선택하였다. 이 표본의 범위와 표준편차$$(s)$$를 구하라. 이 값들을 (a)에서 구한 결과와 비교하라. **\[Solution]** {% tabs %} {% tab title="R Source" %} ``` dataset1 <- read_excel("data1.xls") str(dataset1) # Population Data Set gpa <- dataset1[[2]]; head(gpa) # a. range_GPA <- max(gpa) - min(gpa) ; range_GPA sd(gpa) # Sample Data Set : First 25 Observations. gpa <- dataset1[[2]][1:25]; gpa # b. range_GPA <- max(gpa) - min(gpa) ; range_GPA sd(gpa) # Sample Data Set : Next 25 Observations. gpa <- dataset1[[2]][26:50]; gpa # c. range_GPA <- max(gpa) - min(gpa) ; range_GPA sd(gpa) ``` {% endtab %} {% tab title="a" %} ``` > # Population Data Set > gpa <- dataset1[[2]]; head(gpa) [1] 3.66 2.92 2.66 2.27 2.35 2.02 > > # a. > range_GPA <- max(gpa) - min(gpa) ; range_GPA [1] 4 > sd(gpa) [1] 0.7407454 ``` {% endtab %} {% tab title="b" %} ``` > # Sample Data Set : First 25 Observations. > gpa <- dataset1[[2]][1:25]; gpa [1] 3.66 2.92 2.66 2.27 2.35 2.02 2.94 1.76 2.35 3.16 1.69 3.38 0.62 2.25 3.17 2.72 2.24 1.78 2.99 3.13 3.65 3.41 [23] 0.73 1.87 2.04 > > # b. > range_GPA <- max(gpa) - min(gpa) ; range_GPA [1] 3.04 > sd(gpa) [1] 0.8080454 ``` {% endtab %} {% tab title="c" %} ``` > # Sample Data Set : Next 25 Observations. > gpa <- dataset1[[2]][26:50]; gpa [1] 2.22 1.80 3.19 1.80 2.25 3.25 3.31 2.05 1.41 2.94 2.52 2.34 2.63 1.35 3.65 2.60 2.61 2.18 2.67 1.16 3.11 1.65 [23] 2.05 3.00 2.28 > > # c. > range_GPA <- max(gpa) - min(gpa) ; range_GPA [1] 2.49 > sd(gpa) [1] 0.6578432 > sd(gpa) [1] 0.6578432 ``` {% endtab %} {% endtabs %} **Ex 22.** 다음의 데이터 세트는 특정 실험에 사용된 140마리 실험용 쥐의 생존 기간 데이터를 수록하고 있다. {% embed url="" %} ; {% endembed %} a. 성별에 상관없이 모든 쥐들의 생존기간의 범위와 표준편차를 구하라. b. 수컷(gender = "M") 쥐들의 범위와 표준편차를 구하라. c. 암컷(gender = "F") 쥐들의 범위와 표준편차를 구하라. **\[Solution A]** {% tabs %} {% tab title="R Source" %} ``` dataset <- read_excel("data7.xls") str(dataset) dataset$Gender <- as.factor(dataset$Gender) gender <- dataset[[2]] ; head(gender) surv_day <- dataset[[3]] ; head(surv_day) # a. mean(surv_day) # b. c. aggregate(surv_day~gender, FUN=mean) ``` {% endtab %} {% tab title="Data Set" %} ``` > str(dataset) Classes ‘tbl_df’, ‘tbl’ and 'data.frame': 140 obs. of 3 variables: $ ID : num 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... $ Gender : Factor w/ 2 levels "F","M": 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 ... $ Survival Time (days): num 554 680 484 706 396 737 664 362 719 512 ... > > dataset$Gender <- as.factor(dataset$Gender) > > gender <- dataset[[2]] ; head(gender) [1] F M F M F M Levels: F M > surv_day <- dataset[[3]] ; head(surv_day) [1] 554 680 484 706 396 737 ``` {% endtab %} {% tab title="a" %} ``` > # a. > mean(surv_day) [1] 553.4286 ``` {% endtab %} {% tab title="b. c." %} ``` > # b. c. > aggregate(surv_day~gender, FUN=mean) gender surv_day 1 F 455.8933 2 M 665.9692 ``` {% endtab %} {% endtabs %} **\[Solution B]** {% tabs %} {% tab title="R Source" %} ``` dataset <- read_excel("data7.xls") str(dataset) dataset$Gender <- as.factor(dataset$Gender) gender <- dataset[[2]] ; head(gender) surv_day <- dataset[[3]] ; head(surv_day) # a. mean(surv_day) # or b. c. data <- data.frame(gender, surv_day); head(data) mean_surv_M <- mean(data$surv_day[data$gender == "M"]) ; mean_surv_M mean_surv_F <- mean(data$surv_day[data$gender == "F"]) ; mean_surv_F ``` {% endtab %} {% tab title="a" %} ``` > str(dataset) Classes ‘tbl_df’, ‘tbl’ and 'data.frame': 140 obs. of 3 variables: $ ID : num 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... $ Gender : Factor w/ 2 levels "F","M": 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 ... $ Survival Time (days): num 554 680 484 706 396 737 664 362 719 512 ... > > dataset$Gender <- as.factor(dataset$Gender) > > gender <- dataset[[2]] ; head(gender) [1] F M F M F M Levels: F M > surv_day <- dataset[[3]] ; head(surv_day) [1] 554 680 484 706 396 737 > # a. > mean(surv_day) [1] 553.4286 ``` {% endtab %} {% tab title="b. c." %} ``` > # or b. c. > data <- data.frame(gender, surv_day); head(data) gender surv_day 1 F 554 2 M 680 3 F 484 4 M 706 5 F 396 6 M 737 > > mean_surv_M <- mean(data$surv_day[data$gender == "M"]) ; mean_surv_M [1] 665.9692 > mean_surv_F <- mean(data$surv_day[data$gender == "F"]) ; mean_surv_F [1] 455.8933 ``` {% endtab %} {% endtabs %}