2-3. Exercises

1. Basic Exercises

Ex 1. 다음 표본의 범위(range), 분산(variance) 그리고 표준편차(standard deviation)을 구하라.

1 2 3 4

Ex 2. 다음 표본의 범위(range), 분산(variance) 그리고 표준편차(standard deviation)을 구하라.

2 -2 6 0 2 1

Ex 3. 다음 표본의 범위(range), 분산(variance) 그리고 표준편차(standard deviation)을 구하라.

2 1 2 7

Ex 4. 다음 표본의 범위(range), 분산(variance) 그리고 표준편차(standard deviation)을 구하라.

-1 0 1 4 1 1

Ex 5. data frequency table로 표현된 표본의 범위(range), 분산(variance) 그리고 표준편차(standard deviation)을 구하라.

x  1 2 7
f  1 2 1

Ex 6. data frequency table로 표현된 표본의 범위(range), 분산(variance) 그리고 표준편차(standard deviation)을 구하라.

x  -1 0 1 4
f   1 1 2 1

2. Applications Exercies

Ex 7. 다음 표본의 범위(range), 분산(variance) 그리고 표준편차(standard deviation)을 구하라.

122 162 123 145 148 120 147 160 150 152

Ex 8. 다음 표본의 범위(range), 분산(variance) 그리고 표준편차(standard deviation)을 구하라.

142 152 128 145 148 129 147 155 150 152

3. Additional Exercises

Ex 9. 다음의 표로 나타난 데이터 세트가 있다.

x 26 27 28 29 30 31 32
f  3  4 16 12  6  2  1

a. 이 표를 이용하여 $\Sigma x$ 와 $\Sigma x^2$ 을 구하라.

b. 위의 결과를 이용하여 표본 평균과 표본 표준편차를 구하라.

Ex 10. 다음의 데이터에 대하여 표본 표준편차를 구하라.

x    1    2    3    4    5    6    7    8    9   10
f  284  208   98   56   28   12    8    2    3    1

Ex 11. 자동차 수리센터에서 수리비 청서를 49건 무작위로 선택하였다. 그 데이터를 stem and leaf diagram으로 정렬하였다. (stem은 천단위, leaf는 백단위로 표시되어 있으며 가장 큰 금액은 3,800이었다.)

  0 | 4
  0 | 5688
  1 | 0012444
  1 | 55566777889
  2 | 000001224
  2 | 566778899
  3 | 001124
  3 | 568

a. 평균, 중앙값 그리고 최빈값을 구하라.

b. 범위(range)를 구하라.

c. 표본 표준편차를 구하라.

[Solution]

R Source

x <- c(35, 36, 38, 30, 30, 31, 31, 32, 34, 25, 26, 26, 27, 27, 28, 28, 
       29, 29, 20, 20, 20, 20, 20, 21, 22, 22, 24, 15, 15, 15, 16, 16,
       17, 17, 17, 18, 18, 19, 10, 10, 11, 12, 14, 14, 14, 5, 6, 8, 8,
        4)
stem(x)

# a.
mean(x)   # mean
median(x) # median
y <- table(x)   # mode
names(which.max(y))

# b.
range <- max(x) - min(x); range

# c.
sd(x)

a.

> # a.
> mean(x)   # mean
[1] 20.6

b.

> median(x) # median
[1] 20

c.

> y <- table(x)   # mode
> names(which.max(y))
[1] "20"

Ex 12. 표준 편차가 0인 데이터 세트의 특징에 대하여 서술하라.

Ex 13. 25개의 측정치로 구성된 데이터 세트의 표준편차가 0이다. 이 측정치 중의 하나가 17의 값을 가지고 있다. 나머지 24개 측정치는 어떻게 구성이 되는가?

Ex 14. 범위의 값이 0이고, 표본 평균이 2이 는 표본의 크기가 3인 데이터 세트를 작성하라.

Ex 15. 표본 분산 값이 0이고, 표본 평균이 1이 되는 표본 크기 3의 데이터 세트를 작성하라.

Ex 16. (-1, 0, 1) 표본은 평균이 0, 표준편차가 1이다. 평균이 0이고 표준편차가 1보다 더 큰 값을 갖는 표본 크기 3인 데이터 세트를 작성하라.

Ex 17. (-1, 0, 1) 표본은 평균이 0, 표준편차가 1이다. 평균이 0이고 표준편차가 1보다 더 작은큰 값을 갖는 표본 크기 3인 데이터 세트를 작성하라.

Ex 18. 다음과 같은 데이터 세트가 있다. 이 데이터 세트를 Data Set 1이라고 하자.

5 -2 6 14 -3 0 1 4 3 3 5

a. Data Set 1의 표본 표준편차를 구하라.

b. 이 Data Set 1의 각 수치에 3을 더하여 Data Set II를 작성하라. 그리고 이 Data Set II의 표본 표준편차를 구하라.

c. Data Set I의 각 수치에서 6을 뺀 값으로 구성된 Data Set III를 작성하라. 그리고 이 Data Set III의 표본 표준편차를 구하라.

d. (a), (b), (c)의 결과를 비교하고 일반적인 원리로 제시할 수 있는 패턴을 설명하라.

[Solution]

R Source

ds1 <- c(5, -2, 6, 14, -3, 0, 1, 4, 3, 3, 5)

# a
sd(ds1)

# b
ds2 <- ds1 + 3; ds2
sd(ds2)

# c
ds3 <- ds2 - 6; ds3
sd(ds3)

a

> # a
> sd(ds1)
[1] 4.60632

b

> # b
> ds2 <- ds1 + 3; ds2
 [1]  8  1  9 17  0  3  4  7  6  6  8
> sd(ds2)
[1] 4.60632

c

> # c
> ds3 <- ds2 - 6; ds3
 [1]  2 -5  3 11 -6 -3 -2  1  0  0  2
> sd(ds3)
[1] 4.60632

d

(a), (b), (c) have the same standard deviation.

=> sd(x) = sd(x + a) = sd(x - a)

4. LARGE DATA SET EXERCISES

65KB

data1.xls

Data Set 1

Ex 19. 1,000 명의 학생들의 SAT와 GPS 성적을 수록하고 있는 Data Set 1이 의 사이트에 수록되어 있다.

http://www.flatworldknowledge.com/sites/all/files/data1.xls

a. SAT 성적의 범위와 표본 표준편차를 구하라.

b. GPS 성적의 범위와 표본 표준편차를 구하라.

[Solution]

R Source

install.packages("readxl")
library(readxl)

dataset1 <- read_excel("data1.xls")
str(dataset1)

# Data Set 1
sat <- dataset1[[1]]
gpa <- dataset1[[2]]

# list of Data Set
head(sat)
head(gpa)

# a.
range_SAT <- max(sat) - min(sat)
range_SAT
sd(sat)

# b.
range_GPA <- max(gpa) - min(gpa)
range_GPA
sd(gpa)

Data Set 1

> str(dataset1)                                                                                                                
> str(dataset1)
Classes ‘tbl_df’, ‘tbl’ and 'data.frame':   1000 obs. of  2 variables:
 $ SAT Score  : num  1300 1520 1580 1430 1610 1230 1520 1320 1240 1480 ...
 $ College GPA: num  3.66 2.92 2.66 2.27 2.35 2.02 2.94 1.76 2.35 3.16 ...
>
> # list of Data Set
> head(sat)
[1] 1300 1520 1580 1430 1610 1230
> head(gpa)
[1] 3.66 2.92 2.66 2.27 2.35 2.02

a

> # a.
> range_SAT <- max(sat) - min(sat)
> range_SAT
[1] 1350
> sd(sat)
[1] 212.5455

b

> # b.
> range_GPA <- max(gpa) - min(gpa)
> range_GPA
[1] 4
> sd(gpa)
[1] 0.7407454

Ex 20. Data Set 1의 SAT성적을 이용하여 다음을 구하라.

a. 이 데이터 세트가 모든 고등학생들의 데이터로 생각하자. 모집단의 범위와 표준편차$(\sigma)$를 계산하라.

b. 이 모집지단에서 무작위 표본으로 제일 처음의 25개 데이터를 선택하였다. 이 표본의 범위와 표준편차$(s)$를 구하라. 이 값들을 (a)에서 구한 결과와 비교하라.

c. 이 모집단에서 무작위 표본으로 그 다음 25개 데이터를 선택하였다. 이 표본의 범위와 표준편차$(s)$를 구하라. 이 값들을 (a)에서 구한 결과와 비교하라.

[Solution]

R Source

dataset1 <- read_excel("data1.xls")
str(dataset1)

# Population Data Set
sat <- dataset1[[1]]; head(sat)

# a.
range_SAT <- max(sat) - min(sat) ; range_SAT
sd(sat)

# Sample Data Set : First 25 Observations.
sat <- dataset1[[1]][1:25]; sat

# b.
range_SAT <- max(sat) - min(sat) ; range_SAT
sd(sat)

# Sample Data Set : First 25 Observations.
sat <- dataset1[[1]][26:50]; sat

# c.
range_SAT <- max(sat) - min(sat) ; range_SAT
sd(sat)

a

> # Population Data Set
> sat <- dataset1[[1]]; head(sat)
[1] 1300 1520 1580 1430 1610 1230
> 
> # a.
> range_SAT <- max(sat) - min(sat) ; range_SAT
[1] 1350
> sd(sat)
[1] 212.5455

b

> # Sample Data Set : First 25 Observations.
> sat <- dataset1[[1]][1:25]; sat
 [1] 1300 1520 1580 1430 1610 1230 1520 1320 1240 1480 1780 1870 1140 1580 1520 1510 1490 1760 1430 1630 1960 1330
[23] 1520 1430 1390
> 
> # b.
> range_SAT <- max(sat) - min(sat) ; range_SAT
[1] 820
> sd(sat)
[1] 197.5373

c

> # Sample Data Set : Next 25 Observations.
> sat <- dataset1[[1]][26:50]; sat
 [1] 1700 1320 1540 1510 1120 1690 1870 1450 1430 1850 1510 1510 1700 1330 1820 1360 1820 1670 1690 1330 1520 1180
[23] 1700 1430 1330
> 
> # c.
> range_SAT <- max(sat) - min(sat) ; range_SAT
[1] 750
> sd(sat)
[1] 209.6052

Ex 21. Data Set 1의 GPA성적을 이용하여 다음을 구하라.

a. 이 데이터 세트가 모든 고등학생들의 데이터로 생각하자. 모집단의 범위와 표준편차$(\sigma)$를 계산하라.

b. 이 모집지단에서 무작위 표본으로 제일 처음의 25개 데이터를 선택하였다. 이 표본의 범위와 표준편차$(s)$를 구하라. 이 값들을 (a)에서 구한 결과와 비교하라.

c. 이 모집단에서 무작위 표본으로 그 다음 25개 데이터를 선택하였다. 이 표본의 범위와 표준편차$(s)$를 구하라. 이 값들을 (a)에서 구한 결과와 비교하라.

[Solution]

R Source

dataset1 <- read_excel("data1.xls")
str(dataset1)

# Population Data Set
gpa <- dataset1[[2]]; head(gpa)

# a.
range_GPA <- max(gpa) - min(gpa) ; range_GPA
sd(gpa)

# Sample Data Set : First 25 Observations.
gpa <- dataset1[[2]][1:25]; gpa

# b.
range_GPA <- max(gpa) - min(gpa) ; range_GPA
sd(gpa)

# Sample Data Set : Next 25 Observations.
gpa <- dataset1[[2]][26:50]; gpa

# c.
range_GPA <- max(gpa) - min(gpa) ; range_GPA
sd(gpa)

a

> # Population Data Set
> gpa <- dataset1[[2]]; head(gpa)
[1] 3.66 2.92 2.66 2.27 2.35 2.02
> 
> # a.
> range_GPA <- max(gpa) - min(gpa) ; range_GPA
[1] 4
> sd(gpa)
[1] 0.7407454

b

> # Sample Data Set : First 25 Observations.
> gpa <- dataset1[[2]][1:25]; gpa
 [1] 3.66 2.92 2.66 2.27 2.35 2.02 2.94 1.76 2.35 3.16 1.69 3.38 0.62 2.25 3.17 2.72 2.24 1.78 2.99 3.13 3.65 3.41
[23] 0.73 1.87 2.04
> 
> # b.
> range_GPA <- max(gpa) - min(gpa) ; range_GPA
[1] 3.04
> sd(gpa)
[1] 0.8080454

c

> # Sample Data Set : Next 25 Observations.
> gpa <- dataset1[[2]][26:50]; gpa
 [1] 2.22 1.80 3.19 1.80 2.25 3.25 3.31 2.05 1.41 2.94 2.52 2.34 2.63 1.35 3.65 2.60 2.61 2.18 2.67 1.16 3.11 1.65
[23] 2.05 3.00 2.28
> 
> # c.
> range_GPA <- max(gpa) - min(gpa) ; range_GPA
[1] 2.49
> sd(gpa)
[1] 0.6578432
> sd(gpa)
[1] 0.6578432

Ex 22. 다음의 데이터 세트는 특정 실험에 사용된 140마리 실험용 쥐의 생존 기간 데이터를 수록하고 있다.

http://www.flatworldknowledge.com/sites/all/files/data7.xls

a. 성별에 상관없이 모든 쥐들의 생존기간의 범위와 표준편차를 구하라.

b. 수컷(gender = "M") 쥐들의 범위와 표준편차를 구하라.

c. 암컷(gender = "F") 쥐들의 범위와 표준편차를 구하라.

[Solution A]

R Source

dataset <- read_excel("data7.xls")
str(dataset)

dataset$Gender <- as.factor(dataset$Gender)

gender <- dataset[[2]]   ; head(gender)
surv_day <- dataset[[3]] ; head(surv_day)

# a.
mean(surv_day)

# b. c.
aggregate(surv_day~gender, FUN=mean)

Data Set

> str(dataset)
Classes ‘tbl_df’, ‘tbl’ and 'data.frame':   140 obs. of  3 variables:
 $ ID                  : num  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
 $ Gender              : Factor w/ 2 levels "F","M": 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 ...
 $ Survival Time (days): num  554 680 484 706 396 737 664 362 719 512 ...
> 
> dataset$Gender <- as.factor(dataset$Gender)
> 
> gender <- dataset[[2]]   ; head(gender)
[1] F M F M F M
Levels: F M
> surv_day <- dataset[[3]] ; head(surv_day)
[1] 554 680 484 706 396 737

a

> # a.
> mean(surv_day)
[1] 553.4286

b. c.

> # b. c.
> aggregate(surv_day~gender, FUN=mean)
  gender surv_day
1      F 455.8933
2      M 665.9692

[Solution B]

R Source

dataset <- read_excel("data7.xls")
str(dataset)

dataset$Gender <- as.factor(dataset$Gender)

gender <- dataset[[2]]   ; head(gender)
surv_day <- dataset[[3]] ; head(surv_day)

# a.
mean(surv_day)

# or b. c. 
data <- data.frame(gender, surv_day); head(data)

mean_surv_M <- mean(data$surv_day[data$gender == "M"]) ; mean_surv_M
mean_surv_F <- mean(data$surv_day[data$gender == "F"]) ; mean_surv_F

a

> str(dataset)
Classes ‘tbl_df’, ‘tbl’ and 'data.frame':   140 obs. of  3 variables:
 $ ID                  : num  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
 $ Gender              : Factor w/ 2 levels "F","M": 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 ...
 $ Survival Time (days): num  554 680 484 706 396 737 664 362 719 512 ...
> 
> dataset$Gender <- as.factor(dataset$Gender)
> 
> gender <- dataset[[2]]   ; head(gender)
[1] F M F M F M
Levels: F M
> surv_day <- dataset[[3]] ; head(surv_day)
[1] 554 680 484 706 396 737

> # a.
> mean(surv_day)
[1] 553.4286

b. c.

> # or b. c. 
> data <- data.frame(gender, surv_day); head(data)
  gender surv_day
1      F      554
2      M      680
3      F      484
4      M      706
5      F      396
6      M      737
> 
> mean_surv_M <- mean(data$surv_day[data$gender == "M"]) ; mean_surv_M
[1] 665.9692
> mean_surv_F <- mean(data$surv_day[data$gender == "F"]) ; mean_surv_F
[1] 455.8933