> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://kmis.gitbook.io/statistics/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://kmis.gitbook.io/statistics/chapter-4.-discrete-random-variables/4-6.-hypergeometric-distribution.md). # 4-6. Hypergeometric Distribution ## 1. Hypergeometric Distribution **Hypergeometric distribution**, in [statistics](https://www.britannica.com/science/statistics), [distribution function](https://www.britannica.com/science/distribution-function) in which selections are made from two groups without replacing members of the groups. The hypergeometric distribution differs from the [binomial distribution](https://www.britannica.com/science/binomial-distribution) in the lack of replacements. Thus, it often is employed in random [sampling](https://www.britannica.com/science/sampling-statistics) for [statistical quality control](https://www.britannica.com/science/statistics/Residual-analysis#ref60723). A simple everyday example would be the random selection of members for a team from a [population](https://www.britannica.com/science/population-biology-and-anthropology) of girls and boys. > In symbols, let the size of the population selected from be $$N$$ , with $$r$$ elements of the population belonging to one group (for convenience, called **successes**) and $$(N − r )$$ belonging to the other group (called **failures)**. Further, let the **number of samples** drawn from the population be $$n$$ , such that $$0 ≤ n ≤ N$$ . Then the probability ( $$P$$ ) that the number ( $$X$$ ) of elements drawn from the successful group is equal to some number ( $$x$$ ) is given by > > $$P(X=x) = \frac { \binom{r}{x}\binom{N-r}{n-x} }{ \binom{N}{n}}$$ $$: X \sim HG(n, N, r)$$ > > using the notation of [binomial coefficients](https://www.britannica.com/science/combinatorics/Problems-of-enumeration#ref21879), or, using [factorial](https://www.britannica.com/science/factorial) notation, > > $$P(X=x) = \frac{n!r!(N-n)!(N-r)!}{N!x!(r-x)!(n-x)!(N-r-n+x)!}$$ (hypergeometric factorial formula) ## 2. Mean and Variance > The [mean](https://www.britannica.com/science/mean) of the hypergeometric distribution is $$\mu = n \* P(success) = n \frac{r}{N}$$ , > > and the [variance](https://www.britannica.com/topic/variance) (square of the [standard deviation](https://www.britannica.com/topic/standard-deviation)) is $$\sigma = \frac{nr(N − r)(N − n)}{N^2(N − 1)}$$ . > > $$Var(X) = np(1-p) \frac{N-n}{N-1}$$ , if $$p = \frac{r}{n}$$ **EXAMPLE 15.** A batch of 100 piston rings is known to contain 10 defective rings. If two piston rings are drawn from the batch, write down the probabilities that: 1. the first ring is defective; 2. the second ring is defective given that the first one is defective. **\[ Solution ]** 1. 10/ 100 = 1/10 2. 9/99 = 1/11 **EAXMPLE 16.** A batch of 10 rocker cover gaskets contains 4 defective gaskets. If we draw samples of size 3 without replacement, from the batch of 10, find the probability that a sample contains 2 defective gaskets. And Find the expectation and variance of samples. **\[ Solution ]** * $$P(X=x) = \frac { \binom{r}{x}\binom{N-r}{n-x} }{ \binom{N}{n}}$$, $$N =10, n =3, r=4 \space and \space x=2$$ => \ $$P(X=2) = \frac {\_4C\_2 \* *6C\_1} {*{10}C\_3} = \frac {6\*6}{120} = 0.3$$ {% tabs %} {% tab title="R Source" %} ``` library(Rstat) # 1. Success (r), Sample Size (n) N <- 10; n <- 3; r <- 4; x <- 0:n # 2. Probability Distribution fx <- dhyper(x, r, N-r, n) fx # 3. E(X), Var(X) disc.exp(x, fx) # 4. Plot disc.exp(x, fx, plot=TRUE) ``` {% endtab %} {% tab title="Probability Distribution" %} ``` > # 2. Probability Distribution > fx <- dhyper(x, r, N-r, n) > fx ## [1] 0.16666667 0.50000000 0.30000000 0.03333333 ``` {% endtab %} {% tab title="E(X) and Var(X)" %} ``` > # 3. E(X), Var(X) > disc.exp(x, fx) # E(X), Var(X) and Plot ## E(X) = 1.2 ## V(X) = 2 - 1.2² = 0.56 ## D(X) = √(0.56) = 0.748 ``` {% endtab %} {% tab title="Plot" %} ![](https://2234305379-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-legacy-files/o/assets%2F-Lqmt1Wp54aKlZ5eVcaS%2F-LskeSNQbsaZAp_Byui2%2F-LsklHppA52MULKZnu9l%2Fimage.png?alt=media\&token=6c77cfa9-8b63-4745-81fa-339e8559274a) {% endtab %} {% endtabs %} **EXAMPLE 17.** In the manufacture of car tyres, a particular production process is know to yield 10 tyres with defective walls in every batch of 100 tyres produced. From a production batch of 100 tyres, a sample of 4 is selected for testing to destruction. Find: 1. the probability that the sample contains 1 defective tyre 2. the expectation of the number of defectives in samples of size 4 3. the variance of the number of defectives in samples of size 4. **\[ Solution ]** * $$P(X=x) = \frac { \binom{r}{x}\binom{N-r}{n-x} }{ \binom{N}{n}}$$, $$N =100, n =4, r=10 \space and \space x=1$$ 1. $$P(X=1) = \frac { *{10}C\_1 \* *{(100-10)}C*{(4-1)} } {*{100}C\_4} = \frac {10 \* 117480 }{3921225} ≈ 0.3$$ 2. $$E(X) = np = 4 \* 0.1 = 0.4$$ 3. $$V(X) = np(1-p)\frac {N-M}{N-1} = 0.4 \* 0.9 \* \frac {90}{99} ≈0.33$$ {% tabs %} {% tab title="R Source" %} ``` library(Rstat) # 1. Success (r), Sample Size (n) N <- 100; n <- 4; r <- 10; x <- 0:n # 2. Probability Distribution fx <- dhyper(x, r, N-r, n) fx # 3. E(X), Var(X) & Plot disc.exp(x, fx, plot=TRUE) ``` {% endtab %} {% tab title="Prob. Distribution" %} ``` > # 2. Probability Distribution > fx <- dhyper(x, r, N-r, n) > fx ## [1] 6.516305e-01 2.996003e-01 4.596140e-02 2.754241e-03 5.355469e-05 ``` {% endtab %} {% tab title="E(X) and Var(X)" %} ``` > disc.exp(x, fx, plot=TRUE) ## E(X) = 0.4 ## V(X) = 0.509 - 0.4² = 0.349 ## D(X) = √(0.349) = 0.591 ``` {% endtab %} {% tab title="Plot" %} ![](https://2234305379-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-legacy-files/o/assets%2F-Lqmt1Wp54aKlZ5eVcaS%2F-Lskz4OebN1uC9KnbKL9%2F-Lsl-VHCnXqmg0k919-L%2Fimage.png?alt=media\&token=ee0e4135-2197-4bae-b9b3-fdfebbe836da) {% endtab %} {% endtabs %} ## 3. Using R 초기하분포의 밀도 함수, 누적분포 함수, 분위수 함수, 난수 발생을 위한 R 함수 및 모수는 아래와 같습니다. | **구분** | | **초기하분포 R 함수 / 모수** | | ------- | - | ------------------------------------------- | | 밀도 함수 | d | dhyper(x, m, n, k) | | 누적분포 함수 | p | phyper(q, m, n, k, lower.tail = TRUE/FALSE) | | 분위수 함수 | q | qhyper(p, m, n, k, lower.tail = TRUE/FALSE) | | 난수 발생 | r | rhyper(nn, m, n, k) | **참고 :** 모집단이 m과 n의 개체로 구성되어 있는데 k개의 표본을 추출. lower.tail = TRUE 이면 확률변수 x를 기준으로 왼쪽 꼬리를 의미 ### 3-1. Random Number Generation & Plotting * Random Number Generation : `rhyper(nn, m, n, k)` * Plotting : `dhyper(x, m, n, k)` m=5, n=20 인 초기하분포에서 비복원으로 4개를 추출하는 것을 1000번 모의실험한 후에 도수분포표를 구해보겠습니다. {% tabs %} {% tab title="R Source" %} ``` # random number generation random_hyper <- rhyper(100, m=5, n=20, k=4) ; random_hyper # frequency table y <- table(random_hyper) # plotting plot(y) ``` {% endtab %} {% tab title="Random Number" %} ``` > random_hyper <- rhyper(1000, m=5, n=20, k=4) ; random_hyper [1] 1 0 1 0 1 1 1 2 0 0 1 0 1 0 0 1 0 2 0 0 1 3 2 0 1 0 0 ... 중 ``` {% endtab %} {% tab title="Plot" %} ![](https://2234305379-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-legacy-files/o/assets%2F-Lqmt1Wp54aKlZ5eVcaS%2F-Lr2E3ignSh6t1ldhaBr%2F-Lr2EXjSbLOeoIB2hlmM%2Fimage.png?alt=media\&token=6e0e0323-65b5-42c5-9dd8-6a591d804a2d) {% endtab %} {% endtabs %} ### 3-2. Probability Computation #### 1) $$P(X = 4)$$ 확률 계산 : dhyper(x, m, n, k) **EXAMPLE 18.** 어떤 바리스타가 아메리카노 향 냄새를 맡아보기만 하면 "콜롬비아 원두"로 만든 것인지 아닌지를 맞출 수 있다고 주장하였다고 합니다. 그래서 그 바리스타를 데려다가 실험을 해보았습니다. "콜롬비아 원두"로 만든 아메리카노 5잔 (m=5), 콜롬비아 원두 말고 다른 지역 원두로 만든 아메리카노 20잔 (n=20) 을 만들어 놓고 그 바리스타에게 "콜롬비아 원두"로 만든 아메리카노 5잔(k)을 골라내 보라고 시켰습니다. 이때 "콜롬비아 원두"로 만든 아메리카노를 4잔(x) 골라낼 확률은? **\[ Solution ]** * m : "콜롬비아 원두"로 만든 아메리카노 5잔 (원하는 결과 대상) * n : 다른 지역 원두로 만든 아메리카노 20잔 (원하지 않는 결과 대상) * k : 골라내는 커피 5잔 (시행횟수) * x : 원하는 결과의 횟수 (4잔) \=> $$P(X=4) = dhyper(x=4, m=5, n=20, k=5)$$ {% tabs %} {% tab title="R Source" %} ``` dhyper(x=4, m=5, n=20, k=5) ``` {% endtab %} {% tab title="Result" %} ``` > dhyper(x=4, m=5, n=20, k=5) [1] 0.001882176 ``` {% endtab %} {% endtabs %} **EXAMPLE 19.** TV를 생산하는 제조회사에서 생산한 TV 100 대 중에서 품질이 양호한 TV가 95대, 불량품이 5대가 재고창고에 들어있다고 합니다. 이 재고 창고에서 TV 10개를 비복원추출한다고 했을 때 불량품이 3개가 포함되어 있을 확률은? **\[Solution]** * m : 불량품의 대수 5대 * n : 양호한 TV 대수 95대 * k : 10대 비복원추출 * x : 불량품이 3대 \=> $$dhyper(3, m=5, n=95, k=10)$$ {% tabs %} {% tab title="R Source" %} ``` dhyper(3, m=5, n=95, k=10) ``` {% endtab %} {% tab title="Result" %} ``` > dhyper(3, m=5, n=95, k=10) [1] 0.006383528 ``` {% endtab %} {% endtabs %} #### 2) $$P(X<=4)$$ * `phyper(x, m, n, k, lower.tail=TRUE)` : lower.tail=TRUE 사용 **EXAMPLE 20.** **EXAMPLE 18**.에서 4잔 이하일 확률을 구하라. **\[ Solution ]** \=> $$phyper(4, m=5, n=20, k=5, lower.tail=TRUE)$$ {% tabs %} {% tab title="R Source" %} ``` phyper(4, m=5, n=20, k=5. lower.tail=TRUE) ``` {% endtab %} {% tab title="Result" %} ``` > phyper(4, m=5, n=20, k=5, lower.tail=TRUE) [1] 0.9999812 ``` {% endtab %} {% endtabs %} * 또는 $$P(X<=4) = P(X=1) + P(X=2) +P(X=3) + P(X=4)$$ {% tabs %} {% tab title="R Source" %} ``` sum(dhyper(x=c(0:4), m=5, n=20, k=5) ``` {% endtab %} {% tab title="Second Tab" %} ``` > sum(dhyper(x=c(0:4), m=5, n=20, k=5)) [1] 0.9999812 ``` {% endtab %} {% endtabs %} #### 3-3. 특정 확률에 해당하는 분위수 구하기 `qhyper(p, m, n, k, lower.tail = TRUE/FALSE)`
**EXAMPLE 21.** **EXAMPLE 18**. 에서 확률이 0.03576134가 되는 시행횟수를 구하라. **\[ Solution ]** {% tabs %} {% tab title="R Source" %} ``` qhyper(p=0.03576134, m=5, n=20, k=5, lower.tail=FALSE) ``` {% endtab %} {% tab title="x\*" %} ``` > qhyper(p=0.03576134, m=5, n=20, k=5, lower.tail=FALSE) [1] 3 ``` {% endtab %} {% endtabs %} **EXAMPLE 22.** 누적확률이 0.998099가 되는 시행횟수를 구하라. **\[ Solution ]** {% tabs %} {% tab title="R Source" %} ``` qhyper(p=0.03576134, m=5, n=20, k=5, lower.tail=TRUE) ``` {% endtab %} {% tab title="x\*" %} ``` > qhyper(p=0.998099, m=5, n=20, k=5, lower.tail=TRUE) [1] 3 ``` {% endtab %} {% endtabs %} **EXAMPLE 23.** 총 50개의 개체로 구성되며, 각각 10개, 20개, 40개의 성공개체가 잇는 세 종류의 유한모집단에서 10개의 표본을 취하였을 때, 성공개수의 확률분포를 구하여 비교하라. **\[ Solution ]** {% tabs %} {% tab title="R Source" %} ``` library(Rstat) # 1. Success (r), Sample Size (n) N <- 50; n <- 10; r <- c(10, 25, 40); x <- 0:n # Make empty list fx <- list() # Compute the Probability Distribution of each p for (i in 1:3) fx[[i]] <- dhyper(x, r[i], N-r[i], n) # Summation of Each fx sapply(fx, sum) # E(X), Var(X), and Plot using disc.mexp() mt2 <- paste0("HG(10, 50, ", r, ")") # Title of the plot disc.mexp(x, fx, mt=mt2) # E(X), Var(X) and Plot ``` {% endtab %} {% tab title="E(X) and Var(X)" %} ``` > disc.mexp(x, fx, mt=mt2) # E(X), Var(X) and Plot ## E(X) = 2 V(X) = 5.306 - 2² = 1.306 D(X) = √(1.306) = 1.143 ## E(X) = 5 V(X) = 27.041 - 5² = 2.041 D(X) = √(2.041) = 1.429 ## E(X) = 8 V(X) = 65.306 - 8² = 1.306 D(X) = √(1.306) = 1.143 ``` {% endtab %} {% tab title="Plot" %} ![](https://2234305379-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-legacy-files/o/assets%2F-Lqmt1Wp54aKlZ5eVcaS%2F-Lsl0ThKSNi27TsWbGIb%2F-Lsl228BfFulsvjiGL7n%2Fimage.png?alt=media\&token=7c290be2-4413-47c7-bea7-36b6a9f3e821) {% endtab %} {% endtabs %} **EXAMPLE 24.** 불량률이 5%이고 1,000개의 제품으로 구성된 Lot에서 30개의 표본을 추출하였을 때 나오는 불량품의 갯수를 $$X$$ 라 할 때, 다음을 구하시오. 1. X의 확률분포함수 2. $$E(X)$$ 와 $$Var(X)$$ 3. $$P(X=3)$$ 4. $$P(X\le 3)$$ **\[ Solution ]** {% tabs %} {% tab title="R Source" %} ``` library(Rstat) # 1. Success (r), Sample Size (n) N <- 1000; n <- 30; r <- 50; x <- 0:n fx <- dhyper(x, r, N-r, n); fx # E(X), Var(X), and Plot using disc.exp() disc.exp(x, fx, plot=TRUE) ``` {% endtab %} {% tab title="Prob. Distribution" %} ``` > fx <- dhyper(x, r, N-r, n); fx ## [1] 2.096813e-01 3.415005e-01 2.631628e-01 1.277323e-01 4.385615e-02 1.134096e-02 2.296361e-03 ## [8] 3.737028e-04 4.978342e-05 5.501720e-06 5.093527e-07 3.978930e-08 2.636254e-09 1.486683e-10 ## [15] 7.151451e-12 2.937066e-13 1.029621e-14 3.076775e-16 7.817675e-18 1.682634e-19 3.052012e-21 ## [22] 4.633387e-23 5.835330e-25 6.026622e-27 5.027505e-29 3.319749e-31 1.687139e-33 6.334441e-36 ## [29] 1.646611e-38 2.632567e-41 1.939787e-44 ``` * $$P(X=3)$$ * $$P(X \le3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 0.942$$ {% endtab %} {% tab title="E(X) and Var(X)" %} ``` > # E(X), Var(X), and Plot using disc.exp() > disc.exp(x, fx, plot=TRUE) ## E(X) = 1.5 ## V(X) = 3.634 - 1.5² = 1.384 ## D(X) = √(1.384) = 1.176 ``` {% endtab %} {% tab title="Plot" %} ![](https://2234305379-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-legacy-files/o/assets%2F-Lqmt1Wp54aKlZ5eVcaS%2F-Lsl2hG2TgesKZve57un%2F-Lsl4589LsDX7RUV3dfu%2Fimage.png?alt=media\&token=904e68ad-bbd9-44b1-9f30-027b1797be46) {% endtab %} {% endtabs %} ## 4. Binomial Distribution and Hypergeometric Distribution ### 4.1 Hypergeometric Distribution from Binomial Distribution **이항 분포의 조건부 분포가 바로 초기하 분포**가 되는 것을 알 수 있습니다. > 두 확률변수 X와 Y가 서로 독립이고, 이항분포를 따를 때, 확률변수 X+Y에 대한 X의 조건부 분포는 '초기하 분포'를 따른다. ### 4.2 Binomial Distribution from Hypergeometric Distribution 이와 반대로 **초기하 분포에 극한 (N → ∞)을 취하면 이항분포가 됩니다.** 초기하 분포의 성공확률을 $$p= \frac{r}{N}$$ 이라 할 때, 초기하 분포의 확률질량함수 $$P(X=x) = \frac { \binom{r}{x}\binom{N-r}{n-x} }{ \binom{N}{n}} = \frac { *{r}C\_x \times *{(N-r)}C*{(n-x)} } {*{N}C\_n} = \frac { *{n}C\_x \times *{(N-n)}C*{(r-x)} } {*{N}C\_r}$$ \ $$= {\_{n}C\_x} \frac{ \frac{(N-n)!}{(r-x)!((N-r)-n+x)!}}{ \frac{N!}{r!(N-r)!} } = {\_nC\_x} \frac{r!(N-r)!(N-n)! }{N!(r-x)!((N-r)-n+x)! }$$ \ $$= {\_nC\_x} \frac{r(r-1) \cdots (r-x+1)(N-r)(N-r-1)\cdots (N-r-n+x+1) }{N(N-1)(N-2)\cdots (N-n+1)}$$ 분모, 분자를 $$N^n$$ 으로 나누면, $$= {\_nC\_x} \times \frac{ \frac{r}{N}(\frac{r}{N}-\frac{1}{N}) \cdots (\frac{r}{N} - \frac{x-1}{N})(1- \frac{r}{N})(1-\frac{r}{N} -\frac{1}{N})\cdots (1- \frac{r}{N}-\frac{n-x-1}{N}) }{(1-\frac{1}{N})(1-\frac{2}{N})\cdots (1-\frac{n-1}{N})}$$ $$p= \frac{r}{N}$$이고, $$1-p = q$$ 이므로, $$= {\_nC\_x} \times \frac{ p(p-\frac{1}{N}) \cdots (p - \frac{x-1}{N})q(q -\frac{1}{N})\cdots (q-\frac{n-x-1}{N}) }{(1-\frac{1}{N})(1-\frac{2}{N})\cdots (1-\frac{n-1}{N})}$$ As$$N \rightarrow \infty$$ , $$P(X=x) \rightarrow {\_nC\_x}p^xq^{n-x} \Rightarrow$$$$Binomial Distribution$$ 이렇게 초기하 분포에 극한을 취했을 경우 이항 분포가 됨을 보였습니다. ### 4.3 Binomial Distribution and Hypergeometric Distribution 따라서 이항 분포와 초기하 분포는 다음과 같은 관계를 가집니다. ![](https://2234305379-files.gitbook.io/~/files/v0/b/gitbook-legacy-files/o/assets%2F-Lqmt1Wp54aKlZ5eVcaS%2F-Ltvzan1M9S7rw46FUvC%2F-Ltw7IMN0C9AtrXMVo-L%2Fimage.png?alt=media\&token=0265d4b8-c706-45c2-9878-91c8c786da7c) 그리고 한 가지 더 알아두셔야 할 사항은 **이항 분포는 '복원 추출'을 전제**로, **초기하 분포는 '비복원 추출'을 전제**로 한다는 것 입니다.